Allora, partiamo da un semplice cubo che ha sei facce bianche. Si hanno sei possibilità differenti per scegliere una faccia da colorare di nero, poi cinque per la prossima (perché una è già colorata) e infine quattro per l'ultima (per le stesse ragioni). Fatto questo processo, otteniamo un cubo con tre facce bianche e tre nere. Le possibili combinazioni sono dunque 6 · 5 · 4 = 120.
Tuttavia questa
NON è la soluzione: 120 sono i possibili modi di colorare un cubo in modo che tre facce siano bianche e tre nere, ma questo numero non indica i cubi
distinti che possono essere ottenuti in questo modo; se una di queste configurazioni può essere ottenuta da un'altra semplicemente ruotando il cubo, è chiaro che ci troviamo davanti alla
stessa configurazione. Il numero è dunque molto minore di 120.
A questo punto, basta contare il numero di rotazioni nel gruppo delle simmetrie del cubo (
Octahedral symmetry): sono esattamente 24. Il che significa che esistono esattamente 24 configurazioni distinte di un cubo che possono essere ottenute attraverso rotazioni a partire da una stessa configurazione-base. Due configurazioni che possono essere raggiunte a mezzo di una rotazione del cubo (ovvero, in linguaggio matematico, quelle che appartengono ad una stessa
orbita) sono dunque da considerarsi... la stessa, nella realtà; quindi il problema non consiste nel contare il numero di configurazioni totali (120), ma il numero di orbite distinte a mezzo del gruppo delle rotazioni del cubo.
Ma allora non resta che applicare l'apposita
Formula di Burnside, dove |X/G| è proprio il numero delle orbite, |G| è la cardinalità del gruppo delle rotazioni del cubo (24), mentre X alla g è l'insieme di tutte le combinazioni del cubo che, per una data rotazione g, rimangono immutate.
Ebbene, tutte le 23 rotazioni differenti da quella identica non lasciano immutata alcuna combinazione del cubo perché ogni rotazione scombina le facce, mentre l'identità ovviamente fissa tutte le 120 combinazioni del cubo. Quindi la formula dà
1/24 · (0 + 0 + 0 + ... + 120), dove ci sono appunto 23 addendi nulli: il risultato è dunque 120/24, che fa 5.
Magari sbaglio, chiaramente... comunque quanto viene? Davvero cinque?
.
).
"
.
News
Site map
SitemapIndex
RSS Feed